简介

在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日(插值)多项式。

拉格朗日插值法

众所周知,$n + 1$个$x$坐标不同的点可以确定唯一的最高为$n$次的多项式。在算法竞赛中,我们常常会碰到一类题目,题目中直接或间接的给出了$n+1$个点,让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值

一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数,但是这样做复杂度巨大$(n^3)$且根据算法实现不同往往会存在精度问题

而拉格朗日插值法可以在$n^2$的复杂度内完美解决上述问题

假设该多项式为$f(x)$, 第$i$个点的坐标为$(x_i, y_i)$,我们需要找到该多项式在$k$点的取值

根据拉格朗日插值法

乍一看可能不是很好理解,我们来举个例子理解一下

假设给出的三个点为$(1, 3)(2, 7)(3, 13)$

直接把$f(k)展开$

$f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}$

观察不难得到,如果我们把$x_i$带入的话,除第$i$项外的每一项的分子中都会有$x_i - x_i$,这样其他的所有项就都被消去了

因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的

下面说一下拉格朗日插值法的拓展

在$x$取值连续时的做法

在绝大多数题目中我们需要用到的$x_i$的取值都是连续的,这样的话我们可以把上面的算法优化到$O(n)$复杂度

首先把$x_i$换成$i$,新的式子为

$f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}$

考虑如何快速计算$\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}$

对于分子来说,我们维护出关于$k$的前缀积和后缀积,也就是

对于分母来说,观察发现这其实就是阶乘的形式,我们用$fac[i]$来表示$i!$

那么式子就变成了

注意:分母可能会出现符号问题,也就是说,当$N - i$为奇数时,分母应该取负号

重心拉格朗日插值法

再来看一下前面的式子

设$g = \prod_{i=1}^n k - x[i]$

设$t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}$

这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的$t_i$即可

应用

经典应用

首先讲一个经典应用:计算$\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)$

老祖宗告诉我们,这个东西是个以$n$为自变量的$k + 1$次多项式,具体证明可以看第二份参考资料

然后直接带入$k+1$个点后用拉格朗日插值算即可,复杂度$O(k)$

那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢?

首先你要证明求的东西是某个多项式,判断的依据是:

大部分情况下归纳一下就可以了

题目

由易到难排列

洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎

BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc

BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较

BZOJ2655: calc

参考资料

拉格朗日插值法

差分的应用及正整数的k次方幂求和

拉格朗日插值法及应用

拉格朗日插值 学习笔记


一只菜鸡