矩阵

$A_{nm}$表示一个$n$行$m$列的矩阵。

一个$1$行$n$列的矩阵可以被称为行向量

一个$n$行$1$列的矩阵可以被称为列向量

一个$n$行$n$列的矩阵可以被称为$n$阶方阵$A_n$

$A^T$表示矩阵的转置,即$a_{ij}^{T} = a_{ji}$,相当于把矩阵沿主对角线翻转

除了主对角线上的元素全部为$0$的矩阵为对角矩阵

主对角线以下全部为$0$的方阵是上三角矩阵

单位矩阵是主对角线全为$1$的对角矩阵,一般用$I/E$表示

逆矩阵

矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$,是满足$AA^{-1} = A^{-1}A = I$的矩阵

求逆矩阵的方法:

将原矩阵的右边放一个单位矩阵,并对整体进行消元,当左边被消成单位矩阵时,右侧就被消成了逆矩阵。如果中途失败则说明矩阵不可逆

其实还好理解,消元过程中使用的矩阵初等行变换实际上是左乘一个矩阵,他们的乘积就是逆矩阵,因此我们需要在右侧来构造一个矩阵来收集乘积的结果。

行列式

定义

一个方阵的行列式表示为$|A|$

其中$p$表示任意一个$1$到$n$的排列

$\sigma(p)$表示$p$的逆序对的数量

比如当$n = 2$时,

解释一下

当$p = 1,2$时,逆序对为$0$个,$p_1 = 1, p_2 = 2$,因此$(-1)^0 (a_{1_{p_1}})(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22}$

当$p = 2,1$时,逆序对为$1$个,$p_1 = 2, p_2 = 1$,因此$(-1)^1 (a_{1_{p_1}})(a_{2_{p_2}}) = -1 a_{12} a_{21}$

因此$|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21}$

性质

  • 一个对角矩阵/上三角矩阵的行列式值是所有对角线上元素的乘积

证明:

大概感性的理解一下吧,考虑行列式的定义中,我们需要枚举$a_{i{p_i}}$,那么当$i = n$(也就是最后一行),我们只有一种取值($p_n = n$)不为$0$,

当$i = n - 1$时,虽然有两种取值,但是最后一行已经去了一种,因此还是只有一种取值,以此类推。每一行都只有一种取值

因此答案为对角线元素的乘积

  • 交换矩阵的两行/两列,行列值取反

证明:

性质:对于一个排列,交换任意两个元素,排序的奇偶性一定改变

我们交换了两行/两列,实际上是交换了$p_i, p_j$,因此奇偶性一定改变。

  • 将矩阵的一行/一列乘上一个固定的常数$k$,行列式值也乘上$k$
  • 将矩阵的一行加到另外一行上去,行列式值不变,列同理

证明:

想要直接证明比较困难,我们先证几个性质

  1. 存在两行一样的矩阵,行列式值为$0$

    证明:考虑,如果第$x$行和第$y$行相同,那么交换排列中的$p_x, p_y$,$\prod a_{i, p_i}$不变,而前面的符号相反。所以行列式的每一项都存在一项和它的绝对值相同,符号相反

  2. 假设矩阵第$x$行,第$i$列的元素为$a_{i}$,且满足$a_i = b_i + c_i$,那么我们一定可以构造两个矩阵$B,C$,使得$|A| = |B| + |C|$

有了这两个性质,再重新考虑我们需要证明的东西

一个行$a$加到另一行$b$上面,我们会得到一行$c = a+b$

我们可以把$c$拆开来看,其中的$b$已经出现过,因此它对答案的贡献为$0$

所以行列值的值不变

  • 矩阵可逆的充要条件是行列式不为$0$

证明:

行列式为$0$,说明消元过程中出现了$a_{i, j} = 0$

有了这些性质,我们就可以用高斯消元在$O(n^3)$的时间复杂度内求出矩阵行列式的值

伴随矩阵

余子式:

将方阵的第$i$行和第$j$行同时划去,剩余的一个$n - 1$阶的矩阵的行列式值称为元素$a_{ij}$的余子式,通常记为$M_{ij}$

代数余子式:

元素$a_{ij}$的代数余子式为$C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$

拉普拉斯展开

对于一个方阵$A$,$A$的行列式等于某一行所有元素的值乘上他们代数余子式 的和

即:$|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}$,$x$是一个确定的行坐标,列同理

伴随矩阵

矩阵$A$的代数余子式矩阵是有每个元素的代数余子式构成的矩阵

矩阵$A$的伴随矩阵$A$,是$A$的代数余子式矩阵的转置,即$A = C^T$

对于可逆矩阵,满足

$A* = |A|A^{-1}$

其他的一些定义

线性空间

线性空间:一个非空集合$V$,对加法满足阿贝尔群,对数乘满足结合律,分配律,封闭性,域$F$上的单位元$1$满足$1v = v$

子空间:设$W$是$V$的一个子集,$W$在加法和数乘下都是封闭的,且$0 \in W$,则$W$是$V$的子空间

生成子空间(扩张):对于若干$V$中的元素$v$,包含这些$v$的最小的子空间
$W$是这些元素的生成子空间

生成集合:对于一个$V$的子集$v$,如果$v$的生成子空间是$V$,则称$v$是$V$的一个生成集合

线性相关

对于一个线性空间的一个子集$v_1, v_2, \dots , v_k$,如果$x_1v1 + x_2v_2 + \dots x_kv_k = 0$存在非平凡解,则称这个子集线性相关,否则线性无关。这个条件等价于:任何一个元素都可以被其他元素线性表出

对于向量空间$V$的一个线性无关子集$v$,如果$v$的生成子空间是$V$,则称$v$是$V$的一组基,$|v|$是$V$的维度,同时$v$也是$V$的最小生成集合,同时也是极大线性无关组

对于一个矩阵$A$,把它的每一行看做一个行向量,那么它的极大线性无关组大小称为$A$的行秩,同理也可以定义$A$的列秩。显然,一个矩阵的行秩和列秩是相等的,如果一个矩阵的秩等于它的阶,那么这个矩阵满秩

同样,一个矩阵可逆的条件等于矩阵满秩。

反证法:如果矩阵不满秩,则消到最后一行时,一定可以被之间的线性表出


一只菜鸡